✎ Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues

Méthode

On considère le système de deux équations linéaires à deux inconnues suivant : \(\begin{cases} ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\\ \end{cases}\)  où \(a\) , \(a'\) , \(b\) , \(b'\) , \(c\) , \(c'\) sont des réels donnés.
\(x\) et \(y\) sont les inconnues de ce système d'équations.

Lorsqu'elles existent, les valeurs de   \(x\) et \(y\) qui rendent les deux égalités vraies en même temps forment le couple solution du système,  noté \((x~;~y)\) .

Les deux équations qui constituent ce système sont des équations cartésiennes de droites dans un repère du plan. Résoudre un tel système revient donc à chercher l'éventuel point d'intersection de ces droites qu'on note \(d_1\) et \(d_2\) .
La droite \(d_1\)  est dirigée par le vec teur  \(\displaystyle \overrightarrow{u}\binom{-b}{a}\) et la droite \(d_2\)  est dirigée p ar le vecteur  \(\displaystyle \overrightarrow{v}\binom{-b'}{a'}\) .
Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si \(-b\times a' = -b'\times a\) soit  \(\boxed{ab'-a'b=0}\) . 

On appelle déterminant du système la quantité \(ab'-a'b\) .
Les droites sont donc parallèles si et seulement si le déterminant du système est nul.

Dans le plan, deux droites sont soit parallèles confondues, soit strictement parallèles, soit sécantes.

• Premier cas : les deux droites sont confondues
  Le système admet alors une infinité de couples solutions. 
  
• Deuxième cas :  les deux droites sont strictement parallèles
  Le système n'admet aucun couple solution.
  
• Troisième cas : les droites sont sécantes.
  Le système admet un unique couple solution.